A是要估计的常数，\(w[n]\sim N(0,σ^2)\)，接收到的信号是x[n]

问题：如何估计A？

方法：最大似然ML准则

1、只发了一个x[n]的情况

\[max\;p(x[0]|A)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x[0]-A)^2}{2\sigma^2}}\] \[\Longrightarrow max \;e^{-\frac{(x[0]-A)^2}{2\sigma^2}}\] \[\Longrightarrow min \;e^{(x[0]-A)^2}\]

\(\hat{A}=x[0]\)

2、发了n个x[n]的情况

\[max\;p(x[n]|A)=max\; p(x[0]|A)p(x[1]|A)...p(x[n-1]|A)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x[0]-A)^2}{2\sigma^2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x[1]-A)^2}{2\sigma^2}}...\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x[n-1]-A)^2}{2\sigma^2}}\] \[\Longrightarrow max \;e^{-\frac{(x[0]-A)^2}{2\sigma^2}}e^{-\frac{(x[1]-A)^2}{2\sigma^2}}...e^{-\frac{(x[n-1]-A)^2}{2\sigma^2}}\] \[\Longrightarrow max \;-[\frac{(x[0]-A)^2}{2\sigma^2}+\frac{(x[1]-A)^2}{2\sigma^2}+...+\frac{(x[n-1]-A)^2}{2\sigma^2}]\] \[\Longrightarrow min \;[\frac{(x[0]-A)^2}{2\sigma^2}+\frac{(x[1]-A)^2}{2\sigma^2}+...+\frac{(x[n-1]-A)^2}{2\sigma^2}]=\sum_{i = 0}^{n-1} (x[i]-A)^2\] \[\Longrightarrow min \;[(x[0]-A)^2+(x[1]-A)^2+...+(x[n-1]-A)^2]=min \;\sum_{i = 0}^{n-1} (x[i]-A)^2\]

A是未知数，对A求导

\[-2\sum_{i = 0}^{n-1} (x[i]-A)=0\] \[\sum_{i = 0}^{n-1} (x[i]-A)=0\]

\(\hat{A}=\frac{\sum_{i = 0}^{n-1}x[i]}{n}\)