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傅里叶变换
傅里叶变换的目的是可将时域（即时间域）上的信号转变为频域（即频率域）上的信号。
傅里叶变换公式为：
\[F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i w t} d t\]其中，\(\omega\)代表频率，\(t\)代表时间，\(e^-i\omega t\)是复变函数。
卷积定理
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傅里叶变换的重要性质
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卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的卷积。
\(\leftrightarrow\)代表傅里叶变换。
- 时域卷积定理：时域内的卷积对应于频域内的乘积。
\(F\)代表傅里叶变换。
- 频域卷积定理：频域内的卷积对应于时域内的乘积。两信号在时域的乘积对应于这两个信号频域的卷积除以\(2\pi\)。
实信号与复信号
实信号：\(f(t)\)是时间t的实函数。物理可实现的信号常常是时间\(t\)（或\(k\)）的实函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为实数，这样的信号称为实信号。
对实信号\(f(t)\)做傅里叶变换得： \(\begin{aligned} \mathcal{F}(\mathrm{jw}) &=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j w t} d t=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos (w t) d t-j \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin (w t) d t \\ &=R(w)+j X(w)=|\mathcal{F}(\mathrm{jw})| e^{j \varphi(w)} \end{aligned}\)
实信号频谱具有共轭对称性： \(\mathcal{F}(\mathrm{jw})=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j w t} d t=\left[\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{j w t} d t\right]^{*}=\mathcal{F}^{*}(-j w)\) 频谱函数的实部和虚部分别为：其中实部是偶函数，虚部是奇函数。 \(\begin{aligned} &R(w)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos (w t) d t \\ &X(w)=-\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin (w t) d t \end{aligned}\) 模（幅度）和相角分别为：其中幅度是偶函数，相角是奇函数。 \(\begin{aligned} &|\mathcal{F}(\mathrm{jw})|=\sqrt{R^{2}(w)+X^{2}(w)} \\ &\varphi(w)=\arctan \left[\frac{X(w)}{R(w)}\right] \end{aligned}\) 实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，因此为了信号处理方便，去掉频域的负半平面，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，这样产生的频谱所对应的时域信号就是一个复信号，这个复信号称为解析信号或预包络。