引言

一般来说，组合理论涉及不同维度（顶点、边等）的面的数量。一个有名的例子是欧拉定理，对于3维凸多胞形（多面体），顶点的数量是\(f_0\)，边的数量是\(f_1\)，面的数量是\(f_2\)。可表示为\(f_0-f_1+f_2=2\)

第一章：凸集；讲的是d维凸集。其中的基本概念有：凸壳、凸集的相对内部，支持超平面，封闭凸集的面和极性。(在没有触及的凸性理论的基本概念中，我们提到了凸锥和凸函数）。

第二章：凸多胞形；把凸集理论应用到凸多胞形上，在第15节中，我们研究由多面体的顶点和边决定的图形。

第三章：凸多胞形上的组合学；欧拉公式在d维空间的表示。

附维基百科定义多胞形是一类由平边（flat sides）构成的几何结构。多胞形可以存在于任意维中。多边形为二维多胞形，多面体为三维多胞形，也可以延伸到三维以上的空间，如多胞体即为四维多胞形。

在这里，”平边 “是指(k+1)-多面体的边由k-多面体组成，这些多面体可能有(k-1)-多面体的共同点。例如，一个二维多边形是一个2-多面体，一个三维多面体是一个3-多面体。

当提到n度空间下的多胞形时，常会用n-多胞形的名称来表示，因此多边形可称为2-多胞形，多面体可称为3-多胞形，多胞体即为4-多胞形。

第一章：凸集（Convex Sets）

第一节 \(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的仿射结构

凸多胞形理论来源于仿射几何学，从某种意义上说，研究凸集的正确框架是欧几里得空间的概念，即一个有限维度的实仿生空间，其底层线性空间配备有一个内积。然而，只用更具体的空间\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)工作并没有本质上的一般性损失；因此，一切都将在\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)中进行。我们将假设读者熟悉\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的标准线性理论，包括诸如子空间、线性独立、维度和线性映射等概念。我们还假定读者熟悉\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的标准内积，包括诱导范数II II（induced norm），以及基本的拓扑学概念，如R的一个子集M的内部int M（interior int M）、闭合cl M（closure cl M）和边界bd M（the boundary bd M）。

本节的主要目的是对\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的仿生结构做一个简要的概览。我们在这里没有给出证明；请读者自己提出证明，主要是通过将仿生理论中的语句还原为线性理论中的语句。重要的是，读者要对\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的仿生结构有宾至如归的感觉。

（ps：两段话没几个字看得懂的）

对于\(\mathbb{d} \in \mathbb{N}\)，我们用\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)来表示关于实数\(\alpha_1,...,\alpha_d\)的所有d元组\(x=(\alpha_1,...,\alpha_d)\)的集合。\(\mathbb{R}^1\)用\(\mathbb{R}\)来表示，并定义

\[\mathbb{R}^0:=\{0\}\]

我们回顾一下关于\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)线性结构的一些基本事实。装备上了标准的线性运算，\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)是一个线性空间。当\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的线性结构处于前台时(in the foreground)，\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的元素被称为向量。零矢量用\(o\)来表示。

一个线性子空间是\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的一个非空子集L，使得

\[\text { (a) } \lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2} \text { is in } L \text { for all } x_{1}, x_{2} \in L \text { and all } \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R} \text {. }\]

\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)中的矢量\(x_1,...,x_n\)的线性组合是一个矢量，其形式为\(\lambda_1x_1+...+\lambda_nx_n\)其中\(\lambda_1,...\lambda_n\)都在R中。线性组合的定义有一定的模糊性.（这段太长了英文能看懂我就不翻译了）

（a）和这句话等价：（b）L中任何一个向量的线性组合又都在L中。

（这一块太难了还是先跳了吧…）

第二节凸集

\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的一个子集C，如果\(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\)属于C，当\(x_1,x_2 \in C 并且所有\lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R}，且\lambda_1+\lambda_2=1,\lambda_1,\lambda_2 >=0\)，这个子集C将被称为凸集。

当\(x_1,x_2\)是\(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)中不同的点时，集合

\[\begin{aligned} \left[x_{1}, x_{2}\right] &:=\left\{\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2} \mid \lambda_{1}, \lambda_{2} \geq 0, \lambda_{1}+\lambda_{2}=1\right\} \\ &=\left\{(1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2} \mid \lambda \in[0,1]\right\} \end{aligned}\]

叫\(x_1,x_2\)的closed segment。

convex combination是指\(\lambda_{1} x_{1}+\cdots+\lambda_{n} x_{n}, \text { where } \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}=1，\lambda_1,...,\lambda_n>=0\)。convex combination也是affine combination。

定理2.1 \(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的一个子集C是凸的，当且仅当来自C的任何凸组合的点也在C中。

引言

第一章：凸集（Convex Sets）

第一节 \(\mathbb{R}^\mathbb{d}\)的仿射结构

第二节 凸集

第二节凸集