随机变量\(x_1,x_2, x_3,x_4,…, x_{100}\)相互独立。

①假设\(X_1,X_2 \sim U[0,1]\) 。\(Y= X_1+X_2\), 请问y服从什么分布？

\(x_1,x_2\)的概率密度是

\[f(x_1)=f(x_2)= \begin{cases} 1,0<x<1\\ 0, else \end{cases}\] \[Y=X_1+X_2\;\;\;(0<Y<2)\] \[F(y)=P(Y<y)=P(X_1+X_2<y)=P(X_1<y-X_2)\] \[F(y)= \begin{cases} \frac{y^2}{2},0<y<1\\ -\frac{1}{2}y^2+2y-1,1<y<2\\ 1, y>2 \end{cases}\]

y的概率密度为

\[f(y)= \begin{cases} y,0<y<1\\ -y+2,1<y<2\\ 0, y>2 \end{cases}\]

②假设\(x_1,x_2,x_3,x_4,…, x_{100} \sim U[0,1]\) 。\(z= x_1+x_2+…+x_{99}+x_{100}\), 请问z服从什么分布？

正态分布（中心极限定理）

③假设\(x_1\sim N(0,1), x_2 \sim N(0,1)\) 。\(u= x_1+x_2\), 请问u服从什么分布？

\[u\sim N(0,2)\]

④假设\(x_1,x_2, x_3,x_4,…, x_{100} \sim N(0,1)\)。\(v= x_1+x_2+…+x_{99}+x_{100}\), 请问v服从什么分布？

\[v\sim N(0,100)\]